Equation quadratique

Equation quadratique générale

Forme de base

Forme de base de l'équation quadratique à coefficients constants a, b et c:

$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$

$avec a, b, c \in R und a \neq 0$

Forme normale

La division par les coefficients a et le renommage des termes $\frac{b}{a}$ et $\frac{c}{a}$ conduit à la forme normale de l'équation quadratique.:

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

$avec p = \frac{b}{a} und q = \frac{c}{a} follows the basic form$

$x^{2} + p x + q = 0$

Solution générale de l'équation quadratique

En transformant et en appliquant le complément quadratique, la solution générale de l'équation quadratique peut être donnée sous la forme de la formule p,q:

En partant de la forme normale de l'équation quadratique, on résout l'équation en utilisant le complément quadratique.

$x^{2} + p x + q = 0$

Le point de départ de la solution générale est la forme normale de l'équation quadratique.

$x^{2} + p x = - q$

1. Soustraction q

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} = - q$

2. Extension de l'équation par ${(\frac{p}{})}^{2}$ et soustraction de ce terme de sorte que l'équation ne soit effectivement pas modifiée.

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$

3. Après la transformation, le côté gauche de l'équation contient une expression qui correspond au 1er théorème binomial: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

${(x + \frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$

4. L'application du binôme conduit à une expression quadratique.

$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

5. Tirer la racine permet alors de résoudre l'équation pour x. Comme la racine carrée a en général une équation quadratique positive et une négative, la solution a aussi en général deux solutions x₁ und x₂.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

6. Le résultat est la formule dite pq pour déterminer la solution d'une équation quadratique.

Les solutions peuvent être divisées en trois catégories en fonction de la valeur du discriminant: $D = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

$D = 0$ : Il existe une véritable solution.

$D > 0$ : Il existe deux solutions réelles.

$D < 0$ : Il existe deux solutions complexes.

Exemple d'une équation quadratique avec deux solutions réelles

Le premier exemple a deux solutions réelles. Dans ce qui suit, l'approche est montrée avec une expansion carrée et ensuite avec la formule pq.

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Exemple d'équation

$x^{2} + 3 x = - 2$

Soustraction du terme absolu

$x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} = - 2$

Avec l'ajout du terme ${(\frac{3}{2})}^{2}$ l'expression est étendue à la première formule binomiale.

$x^{2} + 2 \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} = - 2$

L'expansion du facteur devant x illustre la structure binomiale.

$x^{2} + 2 \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} - 2$

Après avoir formé est du côté gauche de l'équation le premier binôme.

${(x + \frac{3}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} - 2$

Application du premier théorème binomial ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$x + \frac{3}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

L'application de la racine carrée permet de résoudre l'équation pour x. La racine carrée de généralement a une solution positive et une solution négative.

$x_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

$x_{1} = - 1$

$x_{2} = - 2$

Formulation et calcul des résultats sur les deux solutions réelles de l'équation quadratique.

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

La solution vous parvient même en employant les coefficients de l'équation dans la formule pq.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

p et q doivent être remplacés par les coefficients.

$x_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

$x_{1} = - 1$

$x_{2} = - 2$

L'utilisation de p = 3 et q = 2 donne la solution de l'équation.

Exemple d'une équation quadratique avec deux solutions complexes

Le deuxième exemple présente deux solutions complexes. Dans ce qui suit, l'approche est d'abord avec le complément carré et ensuite montrée avec la formule pq.

$x^{2} + 1 = 0$

Exemple d'équation

$x^{2} = - 1$

Cette équation quadratique très simple peut être transformée directement.

$x_{1, 2} = \sqrt{- 1} = \pm i$

$x_{1} = + i$

$x_{2} = - i$

La particularité est que le discriminant est négatif donc le terme sous la racine carrée. La racine carrée de -1 est désignée par i. Le i représente l'unité imaginaire.

$x^{2} + 0 x + 1 = 0$

On arrive à la solution en substituant les coefficients de l'équation dans la formule pq.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

p et q doivent être remplacés par les coefficients.

$x_{1, 2} = - \frac{0}{2} \pm \sqrt{{(\frac{0}{2})}^{2} - 1}$

$x_{1} = + i$

$x_{2} = - i$

En insérant p = 0 et q = 1, on obtient la solution de l'équation.

Exemple d'une équation quadratique avec une double solution

Le troisième exemple a une double solution réelle.

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Exemple d'équation

$x^{2} + 4 x + 4 - 4 = - 4$

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x_{1, 2} = - 2$

La solution par complémentation du carré conduit à un discriminant de valeur 0, ce qui signifie qu'il existe une double solution avant avec +/- 0.

$(x + 2) (x + 2) = x^{2} + 4 x + 4$

$x_{1, 2} = - 2$

D'après la représentation du produit de l'équation, il est évident qu'il s'agit d'une solution à deux volets.

La formule pq pour résoudre une équation quadratique

L'application de la formule pq nécessite que l'équation quadratique soit sous la forme normale. Si elles n'existent pas, elles peuvent être converties par des transformations en forme normale. Voici un exemple des transformations nécessaires à la forme normale.

$2 x^{2} - 4 x + 6 = 2$

Exemple d'équation

$x^{2} - 2 x + 3 = 1$

Division par le facteur avant x²

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

En soustrayant le côté droit

$x^{2} + (- 2) x + 2 = 0$

En considérant le signe de p, on peut lire p = -2 et q = 2.

Résolveur d'équations quadratiques

Calculatrice pour la solution de l'équation quadratique:

$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$

Entrez les coefficients a, b et c de l'équation quadratique:

↹#.000

Forme du sommet

La forme du sommet de la fonction carrée est:

$y = {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Où x_V et y_V sont les coordonnées x et y du sommet de la parabole. Le sommet est le minimum ou le maximum de la fonction, selon que la parabole est ascendante ou descendante.

Forme du sommet à partir de la forme de base:

Dans la forme de base, le coefficient avant x² est 1.

Forme de base de la fonction quadratique avec les coefficients constants p et q:

$y = x^{2} + p x + q$

Si la fonction carrée est sous forme de base, le sommet de la parabole est donné par:

$x_{V} = - \frac{p}{2}$

$y_{V} = - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Transformation de la forme de base en forme de sommet avec expansion quadratique et application du premier binôme:

$x^{2} + p x + q =$

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x - \frac{- p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Calculatrice pour la transformation Forme normale à forme de sommet

Parabole

Les solutions de l'équation quadratique correspondant aux zéros d'une parabole. Une parabole est définie par une cartographie de la forme correspondent aux zéros de la fonction. $f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ . Il en résulte que la solution de l'équation quadratique $a \cdot x^{2} + b \cdot + c = 0$ correspond aux zéros de la fonction f(x). Les endroits où la parabole coupe l'axe des x sont les solutions de l'équation.

Selon l'emplacement de la parabole, il y a deux zéros, un zéro ou aucun zéro. Si la parabole ne coupe pas l'axe des x, l'équation quadratique correspondante a des solutions complexes.

Représentation graphique interactive d'une parabole Traceur de paraboles

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